三道微积分之微分方程计算举例股票杠杆设置
主要内容：
1.不定积分∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]的求法
2.二阶常微分方程130y''-277y'=0的通解
3.4y^(4)+16y^(3)+11y''+16y'+7y=5sin3x的通解
1.不定积分∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]的求法
主要内容：通过待定系数法，对数、反正切函数不定积分公式，综合计算不定积分∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]。
解题步骤：
设：(x+3)/[(x-1)(x^2+x+2)]=(mx+n)/(x^2+x+2)-m/(x-1)
展开剩余86%则：(-1-1)m+n=1,
-2m-1n=3。
解得：m=-1，n=-1。
此时不定积分为：
∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]
=∫1dx/(x-1)-∫(x+1)dx/(x^2+x+2)
=ln|x-1|-∫[1/2(2x+1)+1/2]dx/(x^2+x+2)
本步骤用到对数函数不定积分公式∫dx/x=ln|x|+C.
=ln|x-1|-1/2∫d(x^2+x+2)/(x^2+x+2)-1/2∫dx/(x^2+x+2)
=ln|x-1|-1/2ln(x^2+x+2)-1/2∫dx/[(x+1/2)^2+7/4]
=ln|x-1|-1/2ln(x^2+x+2)+[-1/√7]∫d(x/√7/2)/[(x+1/2)/√7/2]^2+1
=ln|x-1|-1/2ln(x^2+x+2)+[-1/√7]arctan[(x+1/2)/√7/2]+C.
本步骤用到反正切函数不定积分公式∫dx/(x^2+1)=arctanx+C.
2.二阶常微分方程130y''-277y'=0的通解
主要内容：本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程130y''-277y'=0通解的计算步骤。
主要步骤：
※.分离变量法
由130y''=277y'有：
130d(y')=277y'dx
130d(y')/y'=277dx,两边同时积分有：
130∫d(y')/y'=277∫dx，即：
130∫d(lny')= 277∫dx，
130lny'=277x+C00,对方程变形有：
dy/dx=e^(277x/130+C00/130)=C01e^(277x/130),
再次积分可有：
∫dy= C01∫e^(277x/130)dx，即：
y=C01*(130/(277)∫e^(277x/130)d(277x/130)
=C1e^(277x/130)+C2。
※.一阶齐次微分方程求解
因为130 (y')'-277y'=0，即：
(y')'-(277/130)y'=0，按照一阶齐次微分方程公式有：
y'=e^(277/130∫dx)*(∫0*e^(-∫(277dx/130)dx+C0)，
进一步化简有：
y'=C0 e^(277x/130)，继续对积分可有：
∫dy=∫C0 e^(277x/130)dx，即：
y=C0*130/277*∫C0e^(277x/130)d(277x/130)
=C1e^(277x/130)+C2。
※.二阶常系数微分方程求解
该微分方程的特征方程为130r^2-277r=0，即：
r(130r-277)=0，所以r1=277/130，r2=0。
此时二阶常系数微分方程的通解为：
y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
=C1e^(277x/130)+C2。
3.4y^(4)+16y^(3)+11y''+16y'+7y=5sin3x的通解
主要内容：根据对应常系数四阶齐次微分方程的特征方程，介绍计算微分方程4y^(4)+16y^(3)+11y''+16y'+7y=5sin3x的通解的主要步骤。
主要步骤：
解：先解特征方程，过程如下：
方程4y^(4)+16y^(3)+11y''+16y'+7y=5sin3x的特征方程为：
4r^4+16r^3+11r^2+16r+7=0,
4r^2(r^2+1)+16r(r^2+1)+7(r^2+1)=0,
(r^2+1)(4r^2+16r+7)=0,
(2r+1)(2r+7)(r^2+1)=0,则有：
r1=-1/2，r2=-7/2，r3=i，r4=-i。
此时特征方程通解为：
y0=c1e^r1x+c2e^r2x+c3sinx+c4cosx.
以下步骤为求特解，设特解y1=msin3x+ncos3x,则：
y'=3mcos3x-3nsin3x,
y''=-9msin3x-9ncos3x,
y^(3)=-27mcos3x+27nsin3x,
y^(4)=81msin3x+81ncos3x.
代入方程得：
(232m+384n)sin3x+(-384m+232n)cos3x=5sin3x,
则由对应项系数相等得：
232m+384n=5，
-384m+232n=0,
求出：m=29/2,n=-6/-629,即特解：
y1=(29/2)sin3x+(-6/-629)cos3x.
综合得函数的通解为：
y=y0+y1
=c1e^(-x/2)+c2e^(-7x/2)+c3sinx+c4cosx+(29/2)sin3x+(6/629)cos3x.
发布于：新疆维吾尔自治区